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      為什么需要四顆衛星才能精確定位?

      • 時間:2023-12-01
      • 點擊:1456

      小述:阿泰,你知道使用衛星定位系統精確定位用戶的位置,最少需要接收幾顆衛星的信號嗎?

      阿泰:應該是3顆吧?

      小述:不對,最少需要接收4顆衛星的信號。

      阿泰:不是求解出該用戶的三維坐標x,y,z就行嗎?也就是對應用戶所在位置的經度、緯度和海拔高度......

      小述:這只是理論上能得出的結果。事實上,手機時間和衛星時間之間的誤差也需要考慮進去。



      述泰科普小貼士

        

          衛星定位的基本原理是測定衛星與接收器之間的距離。以衛星為中心,以該距離為半徑畫球面,不同衛星確定的不同球面的交點,即為該接收器所在位置。

          具體來說:衛星每時每刻都在向全世界發射電磁信號,該信號中包含時刻t及該時刻下衛星的坐標x,y,z(以地心為圓心建立空間坐標系)等信息。


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          當地面用戶的接收器在t?時刻接到該信息后,t?減去衛星信號的時刻t可得時間差△t。由于電磁信號是以光速c30萬公里/秒)行進,由此可得衛星與接收器之間的距離L=c·△t 。

          舉例來說:阿泰駕車時使用衛星導航系統,衛星1為他服務。在北京時間8:00:00,衛星1發出了一個信號,含衛星坐標(x?,y?,z?)和時刻t?=8:00:00,該信號以光速c傳輸到地球上。

          假設阿泰的信號接收器——手機(坐標x,y,z)接到該信號時的時刻t?8:00:02,那么△t?=8:00:02-8:00:00=2秒,得出阿泰和衛星1之間的距離L?=c·△t?=60萬公里(假設值)。

          根據空間幾何,利用三角函數可列公式:

          (x?-x)2 + (y?-y)2 +(z?-z)2 = (c·△t?)2

          用戶接收到3顆衛星的信號,可聯立三個方程組:

          ①(x?-x)2+(y?-y)2+(z?-z)2=(c·△t?)2

          ②(x?-x)2+(y?-y)2+(z?-z)2=(c·△t?)2

          ③(x?-x)2+(y?-y)2+(z?-z)2=(c·△t?)2

          三個方程解3個未知數,是有解的。由此我們可以得到阿泰的三維坐標(x,y,z),這也就是理論上使用衛星定位只需要3顆衛星的原因。


      圖片


          但是,在實際應用中,會出現一個問題:△t的確定,受到雙方時間精準性的影響。

          衛星上使用的是原子鐘,時間極其精準,衛星信號發出的時間t沒有問題。但用戶手機上的時鐘精度低,與衛星的標準時間會有t?的誤差(t?為誤差值,是未知的)。

          所以會出現這樣的情況:我們以為阿泰的手機是在8:00:02接到的信號,但實際此時是8:00:01。△t應該是1秒而不是2秒,而這個結果再乘以光速c之后,誤差就會變得特別大,因此定位結果可能會相差數公里,從而失去定位的意義。

          那該如何消除誤差呢?這就需要引入第四顆衛星,來消除誤差t?的影響,也就是需要求出t?的值。

          具體來說,將真正的時差定義為(△t-t?),聯立四個方程組可得:

          ①(x?-x)2+(y?-y)2+(z?-z)2=[c·(△t?-t?)]2

          ②(x?-x)2+(y?-y)2+(z?-z)2=[c·(△t?-t?)]2

          ③(x?-x)2+(y?-y)2+(z?-z)2=[c·(△t?-t?)]2

          ④(x?-x)2+(y?-y)2+(z?-z)2=[c·(△t?-t?)]2

          四個方程式計算出4個未知數,由此可計算出阿泰的精確坐標(x,y,z),并得知用戶信號接收設備和衛星兩者間相應的時間誤差t?。

          因此,衛星定位系統要想精確定位用戶的位置,最少得接收到4顆衛星的信號。

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